دانلود پایان نامه با موضوع روش حداقل مربعات، مدل دینامیکی، دینامیکی

دانلود پایان نامه

ازی می کند، جمله دوم در سمت راست رابطه (4-17) نیز رفتاری مشابه با ثابت کیهانشناختی بر روی شامه ایفا می کند. با استفاده از این نکته و رابطه ی (4-20) می توان نسیت c_1/c_2 را بر حسب پارامتر های چگالی نوشت
c_1/c_2 ≈(18Ω_Λ)/(Ω_(r_c )+3Ω_m+3Ω_rad±3√(Ω_(r_c ) (0/068Ω_(r_c )+Ω_m+Ω_rad ) )) (20-4)
در رژیم انحنای بالا می توان از تقریب (4-17) استفاده کرد. با محاسبه ی f'(R) می توان c_1/(c_2^2 ) را به صورت زیر نوشت63
c_1/(c_1^2 )=(1-f_0^’ (R))/n (R_0/m^2 )^(n+1) (21-4)
R_0/m^2 در چارجوب f(R)-DGP بدین صورت بدست می آید: رابطه (4-18) را می توان به صورت زیر نوشت
R+1/r_c √(6/5 R)=1/(m_p^2 ) (ρ_0m a^(-3)+ρ_0rad a^(-4) )+12Ω_Λ (22-4)
رابطه ی (4-19) را به جای ρ_0m در عبارت بالا وارد می کنیم
R+1/r_c √(6/5 R)=(3m^2+1/56 m/r_c -1/(m_p^2 ) ρ_0rad ) a^(-3)+ρ_0rad/(m_p^2 ) a^(-4)+12Ω_Λ (23-4)
اگر عبارت بالا را برای √R حل کنیم، می توانیم R_0/m^2 را به صورت زیر بنویسیم
R_0/m^2 ≈(-(0/9√(Ω_(r_c ) ))/m+[3(1+(0/52√(Ω_(r_c ) ))/m)^2+(12Ω_Λ)/m^2 ]^(1/2) )^2 (24-4)
m با رابطه ی (4-20) داده می شود. با جایگزین کردن (4-24) در (4-21) عبارتی برای c_1/(c_1^2 ) بدست می آوریم و با کمک (4-20) می توان c_1 و c_2 را بر حسب پارامتر های پدیده شناختی بدست آورد. بنابراین Ω_i، n و f_0^’ (R) پارامتر های آزاد نظریه هستند. با آزمون های منظومه ی شمسی قید هایی بر روی پارامتر f_0^’ (R) وارد می شود. داده های رصدی نشان می دهند که f_ ^’ (R)-1〖10〗^(-6) است در حالی که f_ ^’ (R) در گذشته ی دور دقیقاً برابر 1 است. در ادامه پارامتر معادله حالت سیال انحنا، ω_curv ، را به ازای مقادیری که برای پارامتر های آزاد نظریه (بر اساس داده های رصدی) در نظر گرفته ایم رسم می کنیم. هدف ما از تمرکز بر چگونگی رفتار پارامتر معادله حالت سیال انحنا این است که بدانیم گرانش القا شده ی هو- ساویکی به عنوان سیال انحنا رفتاری فانتوم گونه از خود نشان می دهد یا خیر. همان طور که از شکل 4-2 می بینیم این پارامتر به ازای Ω_m=0/27، Ω_rad=0/3، Ω_Λ=0/9، Ω_(r_c )=0/01 و f_0^’ (R)-1≈〖10〗^(-6) و در انتقال به سرخ های بالا رفتاری فانتومی از خود نشان می دهد. بنابراین می توان نتیجه گرفت که مدل هو- ساویکی حتی اگر القا شده بر روی شامه باشد باز هم یک فاز دوسیته پایدار در نظریه خواهد داشت. این پارامتر به ازای مقادیر مختلف n رسم شده است. پارامتر معادله حالت به طور مجانبی به ω_curv≈-1 نزدیک می شود. انتقال به سرخی که در آن این رفتار دیده می شود با افزایش n کاهش می یابد.

شکل ‏42 : پارامتر معادله حالت سیال انحنای مربوط به گرانش القا شده ی هو- ساویکی بر حسب z . این مدل در نسخه جهان شامه ای رفتاری فانتوم گونه از خود نشان می دهد. بنابراین یک فاز دوسیته پایدار خواهد داشت. انتقال به سرخی که در آن این رفتار دیده می شود با افزایش n کاهش می یابد.

مقایسه ی مدل با داده های رصدی
همچنان که سازگاری نظری یک مدل شرطی اساسی برای اعتبار یک مدل است، سازگاری با داده های رصدی نیز شرطی لازم برای اعتبار آن است. ما در این بخش، مدل ارائه شده را به روش کیهان نگاری64 با داده های رصدی مقایسه می کنیم. این روش بدون حل معادلات میدان به مقایسه ی رصدی گرانش مرتبه بالای انحنا می پردازد [87]. ابتدا این روش را به طور خلاصه توضیح می دهیم.

روش کیهان نگاری
روش کیهان نگاری یک روش ریاضی است که تنها با تکیه بر اصل کیهانشناختی به توصیف عالم می پردازد. این روش در اصل سینماتیک است زیرا مستقل از دینامیک ایجاد شده توسط فاکتور مقیاس a(t) است. به عبارت دیگر هیچ مدل دینامیکی به عنوان پیش فرض در این روش در نظر گرفته نمی شود و به طور کلی مستقل از مدل می باشد. ایده ی اولیه در روش کیهان نگاری این است که فاکتور مقیاس را نسبت به زمان کیهانی بسط تیلور دهیم [87-92]
a(t)/a(t_0 ) =1+H_0 (t-t_0 )-q_0/2 H_0^2 (t-t_0 )^2+j_0/3! H_0^3 (t-t_0 )^3+s_0/4! H_0^4 (t-t_0 )^4+l_0/5! H_0^5 (t-t_0 )^5 (25-4)
ضرایب بسط در سری فوق، پارامتر های کیهان نگاری نامیده می شود که به صورت زیر تعریف می شوند
H(t)=1/a da/dt , (26-4)
q(t)=-1/H^2 1/a (d^2 a)/(dt^2 ) , (27-4)
j(t)=1/H^3 1/a (d^3 a)/(dt^3 ) , (28-4)
s(t)=1/H^4 1/a (d^4 a)/(dt^4 ) , (29-4)
l(t)=1/H^5 1/a (d^5 a)/(dt^5 ) . (30-4)
که به ترتیب پارامتر های هابل، واشتاب، تکانه ناگهانی65 و ضربه ناگهانی66 نامیده می شوند. برای پارامتر l67 تاکنون مفهوم فیزیکی مشخصی تعیین نشده است. مقادیر کنونی این پارامترها که با اندیس صفر نشان داده می شود وضعیت تحول عالم را مشخص می کند. به عنوان مثال پارامتر هابل H_0 سرعت انبساط عالم را بدست می دهد و یک مقدار منفی برای پارامتر واشتاب q_0 نشان می دهد که عالم ما تحت یک انبساط شتابدار مثبت قرار دارد. با پارامتر j_0 می توان نوع شتاب عالم را تشخیص داد، اینکه شتاب عالم فزاینده است یا کاهنده. در بحث مقایسه مدل با داده های رصدی، کمیت فاصله بین دو رویداد در عالم از اهمیت ویژه ای برخوردار است. زیرا فاصله ها ارتباطی بین یک سری کمیت های قابل اندازه گیری مثل تابندگی یک شیء دور یا انتقال به سرخ آن و کمیت هایی که به طور مستقیم قابل اندازه گیری نیستند برقرار می کند. یکی از این فواصل فاصله ی تابندگی است که به صورت زیر تعریف می شود
d_L=a(t_0 )/a(t_*=t_0-D/c) (a_0 r_0 ) , r_0=∫_(t_*)^(t_0)▒〖1/a(t) cdt〗 (31-4)
در رابطه فوق t_* زمان گسیل فوتون از چشمه و t_0 زمان دریافت نور توسط ناظر است که با D ، فاصله ی فیزیکی که فوتون طی می کند تا از چشمه به ناظر برسد به صورت زیر ارتباط دارند
D=∫_(t_*)^(t_0)▒cdt=c(t_0-t_* )
(32-4)
با استفاده از رابطه ی 1+z=a(t_0 )/a(t) می توان فاصله تابندگی را به فرم ساده تر زیر نوشت
d_L=(1+z) ∫_0^z▒〖1/E(z’) dz’〗 (33-4)
از شکل باز نویسی شده ی d_L کاملاً مشخص است که فاصله تابندگی کمیتی وابسته به مدل است و برای اندازه گیری آن باید پارامتر هابل E(z) را از معادلات میدان مربوطه بدست آورد. اما در روش کیهان نگاری همان طور که قبلاً گفته شد، نیازی به حل معادلات میدان نیست. با استفاده از رابطه ی (4-25) و t=t_0-D/c و جایگزین کردن آن ها در رابطه ی 1+z=a(t_0 )/a(t) ، می توان D(z) را تا مرتبه پنجم z حول t_0 یسط داد [87,88]
H_0/c D(z)=z-(1+q_0/2) z^2+(1+q_0+〖q_0〗^2/2-j_0/2) z^3-(1+3/2 q_0 (1+q_0 )+5/8 q_0^3-j_0/2-5/12 j_0 q_0-s_0/24) z^4+O(z^5 ) (33-4)
و در نهایت فاصله تابندگی نیز تا مرتبه پنجم z به صورت زیر بسط داده می شود
d_L (z,P)=d_L^1 z+d_L^2 z^2+d_L^3 z^3+d_L^4 z^4+d_L^5 z^5 (34-4)
که ضرایب d_L^i بر حسب پارامتر های کیهانشناختی P=(H_0, q_0, 〖 j〗_0 , s_0, l_0 ) بیان می شوند
d_L^1=1
d_L^2=1/2 (1-q_0 )
d_L^3=-1/6 (1-q_0+j_0-3q_0^2 )
d_L^4=1/24 (2-2q_0-15q_0^2+5j_0+10q_0 j_0+s_0 )
d_L^5=1/120 (6q_0-6+81q_0^2+165q_0^3+105q_0^4+10j_0^2-27j_0-110q_0 j_0-105q_0 j_0^2-15q_0 s_0-11s_0-l_0 ) (35-4)
تابع توزیع احتمال68 به صورت زیر تعریف می شود
L_s (P)∝ exp(-χ_s^2 (P)/2) (36-2)
که در آن χ_s^2 (P) اگر حداقل باشد، تابع توزیع احتمال گوسی بیشینه خواهد شد. فرایند بدست آوردن χ_(s min)^2 در روش حداقل مربعات انجام می شود. روش حداقل مربعات روشی در آمار است که برای حل دستگاه معادلاتی به کار می رود که تعداد معادلاتش بیش تر از تعداد مجهولاتش باشد. حداقل مربعات در واقع روشی برای برازش داده ها است. در این روش بهترین مدل برازش شده بر مجموعه ای از داده ها مدلی است که در آن مجموع مربع باقی مانده ها کمینه باشد. منظور از باقی مانده ها، اختلاف بین داده ی مشاهده شده و مقداری است که از مدل بدست می آید. χ_s^2 (P) به صورت زیر داده می شود [93, 94]
χ_s^2 (P)=∑_(i=1)^n▒[μ_obs (z_i )-μ_th (z_i,P)]^2/(σ_(μ_i ) (z_i ) ) (37-2)
n تعداد داده های رصدی است. μ_obs مدول فاصله ی قابل مشاهده برای یک شمع استاندارد است که در انتقال به سرخ z_i قرار دارد و σ_(μ_i ) خطای اندازه گیری است. μ_th نیز مقدار نظری مدول فاصله است که از هر مدل نظری با رابطه زیر بدست می آید
μ_th (z,P)=25+5log [〖H_0 d〗_L (z, P)] (38-2)
همان طور که نشان دادیم فاصله ی تابندگی یکی از کمیت های مهم آماری در تحلیل رصدی یک مدل نظری محسوب می شود که در روش فوق الذکر بر حسب پارامتر های کیهان نگاری بدست آمد. با بدست آوردن χ_(s min)^2 می توان مقادیری از پارامتر های P را که بهترین مدل برازش شده را نتیجه دهند بدست آورد . تا این قسمت توضیح مختصری در مورد روش کیهان نگاری ارائه شد. کاربرد این روش و استرادژی مربوطه در بخش بعدی توضیح داده می شود.

کاربرد روش کیهان نگاری در مدل f(R)-DGP
در این بخش باید پارامتر های مدل را با پارامتر های کیهان نگاری مرتبط ساخت. اسکالر انحنا و مشتقات آن را می توان بر حسب پارامتر هابل و مشتقات آن به صورت زیر نوشت
R=-6(H ̇+2H^2 ), (39-4)
R ̇=-6(H ̈+4HH ̇ ), (40-4)
R ̈=-6(H ⃛+4HH ̈+4H ̇^2 ), (41-4)
R ⃛=-6((d^4 H)/(dt^2 )+4HH ⃛+12H ̇H ̈ ), (42-4)
از طرفی می توان پارامتر هابل و مشتقات آن را بر حسب پارامتر های پدیده شناختی کیهان نگاری به صورت زیر بازنویسی نمود [89]
H ̇=-H^2 (1+q), (43-4)
H ̈=H^3 (j+3q+2), (44-4)
H ⃛=H^4 (s-4j-3q(q+4)-6), (45-4)
(d^4 H)/(dt^4 )=H^4 [l-5s+10(q+2)j+30(q+2)q+24] (46-4)
حال روابط (4-39) – (4-42) در زمان کنونی t_0 بر حسب پارامتر های کیهان نگاری به روابط زیر تبدیل می شوند
R_0=-6H_0^2 (1-q_0 ) (47-4)
R ̇_0=-6H_0^3 (j_0-q_0-2) (48-4)
R ̈_0=-6H_0^4 (s_0+q_0^2+8q_0+6) (49-4)
R ⃛_0=-6H_0^5 (l_0-s_0+2(q_0+4) j_0-6(3q_0+8) q_0-24) (50-4)
گام بعدی جایگزین کردن معادلات (4-43) و (4-47) تا (4-50) در معادلات فریدمن و ریچادوری است تا بتوان عباراتی برای f(R_0 )، f'(R_0 )، f”(R_0 ) و f”'(R_0 ) بر حسب پارامتر های کیهان نگاری بدست آورد. البته با یک دستگاه دو معادله- چهار مجهولی رو به رو می شویم و برای تعریف کامل مدل، علاوه بر معادلات فریدمن و ریچادوری نیاز به اطلاعات اضافه ای خواهیم داشت. یکی از این معادلات کمکی را می توان با شرط f'(R_0 )≃1 بدست آورد: از معادله فریدمن اصلاح شده در مدل های f(R)-DGP، ثابت گرانشی مؤثر روی شامه به صورت G/f'(R) تعریف می شود [86]. از طرفی ثابت گرانشی مؤثر G_eff در زمان کنونی با همان ثابت گرانشی G سازگار است. بنابراین می توان فرض کرد f'(R_0 )≃1 باشد. معادله اضافی

دیدگاهتان را بنویسید