دانلود پایان نامه با موضوع دینامیکی، چند متغیره

دانلود پایان نامه

‘-f)/(1-3/2 f”(Rf’-2f)/f'(Rf”-f’) )^2 (36-2)
جمله دوم در سمت راست رابطه فوق و شکل تابعی f(R) چشمه اصلی برای ایجاد دینامیکی متفاوت با نسبیت عام استاندارد است. از معادله بالا به راحتی می توان چگالی انرژی مؤثر سیال انحنا (ρ_eff≡ρ^curv ) را پیدا کرد. فشار مربوطه از معادله ریچادوری بدست می آید و از آنجا می توان پارامتر معادله حالت مؤثر سیال انحنا را بدست آورد.
تا این جا به دنبال این بودیم که گرانش f(R) چگونه می تواند شتاب کیهانی و پارامتر معادله حالت ω_eff~-1 را ایجاد کند. این شتاب کیهانی می تواند مربوط به دوره ی تورمی باشد یا مربوط به شتاب حال حاضر عالم. دانشمندان در تلاش هستند تا مدل هایی از گرانش اصلاح شده ی f(R) بسازند تا هم دوره ی تورمی اولیه و هم انبساط شتابدار کنونی را توضیح دهند [43]. البته مدل هایی که برای توجیح سرعت رو به رشد کیهانی ساخته می شوند نباید موفقیت های کیهانشناخت استاندارد را زیر سوال ببرند. در کیهانشناخت استاندارد دوره های کیهانشناختی مشخصی تعریف شده است که هر نظریه ی ارائه شده برای اینکه اعتبار کیهانشناختی اش حفظ شود لازم است این دوره ها را شامل شود. 5 دوره ی کیهانی به شرح زیر تعریف می شوند:
دوره تورمی اولیه
یک دوره تابش غالب که در طول آن سنتز هسته ای انفجار بزرگ39 رخ داده است.
دوره ماده غالب
دوره انبساط شتابدار کنونی
زمان آینده
دوره ی ماده غالب باید به اندازه ای طول بکشد که اختلالات چگالی اولیه ایجاد شده در دوره ی تورمی، زمان کافی برای رشد و تشکیل ساختار هایی که امروزه در جهان می بینیم را داشته باشند. در زمان آینده نیز عالم یا در فاز دوسیته (عالمی با ثابت کیهانشناختی غالب) می ماند و یا با پدیده تکینگی شکافتگی بزرگ40 رو به رو خواهد شد. علاوه بر این باید گذار همواری نیز بین دوره های مختلف عالم وجود داشته باشد که همه ی مدل های گرانش f(R) نمی توانند چنین رفتاری از خود نشان دهند. یکی از روش هایی که اعتبار کیهانشناختی مدل های نظری، از جمله مدل های گرانش اصلاح شده ی f(R) را نشان می دهد روش فضای فاز سیستم های دینامیکی است که در بخش بعد به تفصیل آن را توضیح می دهیم.

فضای فاز و روش سیستم های دینامیکی
عنوان سیستم دینامیکی به سیستمی اطلاق می شود که با گذر زمان تحول می یابد. یک سیستم دینامیکی را می توان توسط سه پارامتر زمان، بردار حالت و توابعی که بیانگر نحوه تحول سیستم هستند مشخص کرد. حالت هر سیستم را می توان به طور کمی با یک بردار حالت ریاضی نمایش داد. به عنوان مثال توپی که به هوا پرتاپ می شود در هر لحظه با موقعیت مکانی h و سرعت v و یا با بردار حالت (■([email protected])) به طور کامل تعیین می شود. این بردار های حالت برای بعضی از سیستم های دینامیکی ممکن است شامل میلیون ها عدد باشند. بخش دوم یک سیستم دینامیکی تابعی است که حالت زمان بعد سیستم را در صورتی که حالت اولیه ی آن داده شده باشد مشخص می کند. زمان در سیستم های دینامیکی ممکن است گسسته یا پیوسته باشد. فرض می کنیم سیستم دینامیکی ما یک حساب بانکی باشد که با مقدار اولیه 100 تومان باز شده و 0.06 سود سالانه دارد. تحول این سیستم سالیانه است، بنابراین زمان برای اینگونه سیستم ها گسسته است. تابعی که حالت زمان های بعد را مشخص می کند به فرم زیر می باشد
x(k+1)=1/06 x(k)
x(0)=100
k زمان گسسته است. در حالت کلی برای هر بردار حالت x∈R^n و تابع f: R^n→R^n رابطه زیر برقرار است
x(k+1)=f(x(k)) (37-2)
n تعداد متغیر های سیستم است که با زمان تحول می یابند. برای مثال فوق n=1 و f(x)=1/06 x می باشد. برای برخی دیگر از سیستم های دینامیکی زمان به گونه ای پیوسته پارامتری شده است. در این سری از سیستم ها زمان را با t نشان می دهیم. همان مثال اول که توپی در هوا پرتاب شده است را در نظر می گیریم. حالت سیستم در هر زمان داده شده را با چه اطلاعاتی و با چه تابعی می توان بدست آورد؟ اگر توپ سرعت رو به بالا داشته باشد، v=dh⁄dt می باشد که تحت شتاب -g=dv⁄dt به سمت پایین کشیده می شود. اطلاعات فوق را می توان به شکل ماتریسی زیر نشان داد
(■(h'(t)@v'(t)))=(■(0&[email protected]&0))(■(h(t)@v(t)))+(■([email protected])) (38-2)
از آنجا که (■(h(t)@v(t))) بردار حالت سیستم است پس می توان تابع عملگری f(x) را به صورت زیر با بردار حالت x مرتبط نمود
x’=f(x) (39-2)
این سیستم معادلات دیفرانسیل را به عنوان سیستم مستقل41 می شناسیم [44]. علامت پریم در این جا مشتق گیری نسبت به زمان را نشان می دهد. از مقایسه دو رابطه اخیر، تابع f(x) برای مثال بالا به شکل f(x)=Ax+B بدست می آید که A=(■(0&[email protected]&0))، ماتریسی 2×2و B=(■([email protected]))، برداری ثابت است. به طور کلی معادله (2-39) برای همه ی سیستم های دینامیکی که زمان برای آن ها پیوسته باشد تعریف می شود. کیهان ما یک سیستم دینامیکی است که با زمان به طور پیوسته تحول می یابد و هدف ما در این رساله بررسی چگونگی تحول عالم است، بنابراین بحث سیستم های دینامیکی زمان گسسته را همین جا به پایان می رسانیم و در ادامه، سیستم های دینامیکی زمان پیوسته را با جرئیات بیشتری بررسی خواهیم کرد. به طور کلی سیستم های دینامیکی را می توان به دو دسته تقسیم کرد: سیستم های دینامیکی خطی و سیستم های دینامیکی غیر خطی.

سیستم های دینامیکی خطی
در این بخش حل معادله x’=f(x) که f(x)=Ax+b است را مورد بررسی قرار می دهیم. اگر سیستم دینامیکی مورد نظر شامل n متغییر دینامیکی باشد (در این صورت A ماتریسی
n×n و b یک بردار n بعدی است)، آنگاه حل این سیستم معادلات مشکل خواهد بود زیرا سیستمی از n معادله ی n متغیره خواهیم داشت.
برای حل این معادلات ابتدا مورد b=0 را در نظر می گیریم
حالت x’=Ax :
حالت تک متغیره x’=ax، جوابی به صورت e^at x_0 دارد. می توان ثابت کرد که در حالت چند متغیره نیز جواب به صورت e^At x_0 خواهد بود. اما تابع نمایی e به توان یک ماتریس به چه معنی است؟ اگر بتوان ماتریس A را قطری کرد طوری که ماتریس Λ قطری شده ی ماتریس A ، λ_1,λ_2,…,λ_n ویژه مقادیر و v_1,v_2,…,v_n ویژه بردار های ماتریس A باشند آنگاه می توان جواب را به شکل زیر نوشت
e^At=Se^Λt S^(-1) (40-2)
e^Λt=exp(t(■(λ_1&⋯&[email protected]⋮&⋱&⋮@0&⋯&λ_n )))=(■(e^(λ_1 t)&⋯&[email protected]⋮&⋱&⋮@0&⋯&e^(λ_n t) )) (41-2)
S ماتریسی n×n است که ستون i ام آن را ویژه بردار v_i می سازد. اگر e^At x_0 را با شرط اولیه ی x_0 بدانیم، آنگاه n جواب x_1 (t),x_2 (t),…,x_n (t) به صورت ترکیبی خطی از e^(λ_1 t), e^(λ_2 t), …, e^(λ_n t) بدست می آید42. در این مرحله می توانیم در مورد واگرایی یا همگرایی جواب ها بحث کنیم:
اگر بخش حقیقی ویژه مقادیر منفی باشند، |λ_i |<0، آنگاه x(t)→0 وقتی t→∞.
گر بخش حقیقی ویژه مقادیر و یا حداقل بخش حقیقی یکی از آن ها مثبت باشد |λ_i |>0، آنگاه x(t)→∞ وقتی t→∞.
اگر تعدادی از ویژه مقادیر بخش حقیقی منفی یا صفر، |λ_i |≤0 و بعضی از آن ها بخش حقیقی صفر داشته باشند|λ_i |=0، آنگاه برای تمامی زمان های t، جواب x(t) نه به صفر43 میل می کند و نه از آن دور می شود بلکه حول آن در چرخش است.

حالت x’=Ax+b :
در این قسمت فرض می کنیم ثابت برداری b غیر صفر باشد. اگر بتوان A را قطری نمود آنگاه A=SΛS^(-1) است و بنابراین x’=(SΛS^(-1) )x+b . با ضرب کردن S^(-1) در دو طرف x’ خواهیم داشت
S^(-1) x’=ΛS^(-1) x+S^(-1) b (41-2)
از آنجا که S^(-1) x’=(S^(-1) x)^’ می باشد [44]، با تغییر متغیر 〖u=S〗^(-1) x می توان دسته معادلات دیفرانسیلی به صورت زیر نوشت
u’=Λu+c , c=S^(-1) b (42-2)
{█(■(u_1^’=λ_1 [email protected]_2^’=λ_2 u_2+c_2 )@[email protected]@[email protected]_n^’=λ_n u_n+c_n )┤ (43-2)
اگر از λ_i ها در رابطه (2-43) فاکتور بگیریم، با یک تغییر متغییر دیگر به صورت y_i=u_i+c_i/λ_i می توان روابط (2-43) یا به طور خلاصه رابطه (2-42) را به صورت زیر نوشت
y’=Λy (44-2)
حل این معادله مشابه با حالت x’=Ax است. با کمی محاسبات ساده به نتایج زیر می رسیم
u_j (t)={█(e^(λ_j t) (u_j (0)+c_j/λ_j )-c_j/λ_j λ_j≠[email protected]_j t+u_j (0) λ_j=0)┤ (45-2)
به منظور بدست آوردن عبارت صریحی برای جواب های x_j (t) کافی است ماتریس S را در u ضرب کنیم44. رفتار کلی سیستم های دینامیکی خطی، حول حل مجانبی x ̃=-b/A را در زیر خلاصه کرده ایم.
اگر بخش حقیقی همه ی ویژه مقادیر منفی باشد، یعنی |λ_i |<0 باشد آنگاه سیستم به x ̃=-b/A همگرا خواهد بود.
اگر همه ی ویژه مقدار ها یا حداقل یکی از آن ها بخش حقیقی مثبت داشته باشند، یعنی |λ_i |>0 باشد آنگاه سیستم حول x ̃=-b/A واگرا خواهد بود.
اگر تعدادی از ویژه مقادیر بخش حقیقی منفی یا صفر، |λ_i |≤0 ، و بعضی از آن ها بخش حقیقی صفر داشته باشند، |λ_i |=0، آنگاه جواب x(t) نه همگرا به x ̃=-b/A است و نه از x ̃ دور می شود بلکه نزدیک آن می ماند.
حالت های توصیف شده در بالا را می توان از لحاظ هندسی نیز بررسی نمود. برای یک مورد دو بعدی یا دو متغیره، همگرایی یا واگرایی سیستم دینامیکی به جواب ها در شکل های زیر نشان داده شده اند. شکل 2-2 رفتار مجانبی سیستم دینامیکی x’=Ax را نمایش می دهد که حل مجانبی آنx ̃=0 یک حل ناپایدار است زیرا سیستم با گذشت زمان از این حالت دور می شود. در شکل سمت راست، ویژه مقادیر ماتریس دو بعدی A هردو حقیقی و مثبت هستند. در شکل سمت چپ، ویژه مقادیر A اعدادی مختلط با بخش حقیقی مثبت هستند. برای این سیستم نیز جواب x ̃=0 یک جواب ناپایدار خواهد بود. مارپیچی بودن مسیر ها به دلیل وجود توابع مثلثاتی سینوسی و کسینوسی است که از بخش موهومی جواب ها نشأت می گیرد.

شکل ‏22 : فضای فاز یک سیستم دینامیکی 2 بعدی x’=Ax با حل مجانبی x ̃=0 . این جواب به عنوان یک حل ناپایدار در سیستم است. در شکل سمت راست، ویژه مقادیر A هر دو حقیقی و مثبت هستند. در شکل سمت چپ، هردو ویژه مقدار اعدادی مختلط با بخش حقیقی مثبت می باشند.

شکل 2-3 رفتار مجانبی سیستم دینامیکی دیگری به فرم x’=Ax را نشان می دهد که در آن حل مجانبی یکتای x ̃=0 یک حل پایدار است زیرا سیستم با گذشت زمان به این جواب میل می کند. در شکل سمت راست ویژه مقادیر A همگی حقیقی و منفی هستند در حالی که در شکل سمت چپ، ویژه مقادیر A مختلط هستند و همگی بخش حقیقی منفی دارند.
شکل 2-4 نیز رفتار مجانبی سیستم دینامیکی x’=Ax را نشان می دهد که ماتریس A در آن حداقل یک ویژه مقدار مثبت دارد. در اینگونه سیستم ها حل مجانبی یکتای x ̃=0 ناپایداری زینی دارد.

شکل ‏23 : فضای فاز یک سیستم دینامیکی به فرم x’=Ax با حل مجانبی x ̃=0 . این جواب یک حل پایدار است. در شکل سمت راست، ویژه مقادیر A هر دو حقیقی و منفی هستند. در شکل سمت چپ، هردو ویژه مقدار اعدادی مختلط با بخش حقیقی منفی می باشند.

شکل ‏24 :فضای فاز یک سیستم دینامیکی به فرم x’=Ax با حل مجانبی x ̃=0 . این جواب یک حل ناپایدار زینی است. ویژه مقادیر A یکی مثبت و یکی دیگر منفی است.

شکل ‏25 : فضای فاز سیستم دینامیکی x’=Ax با حل مجانبی x ̃=0 . این جواب یک حل پایدار حاشیه ای است. در شکل سمت راست ماتریس A حداقل یک ویژه مقدار صفر دارند. در شکل سمت چپ هردو ویژه مقدار A بخش حقیقی صف
ر دارند.

شکل 2-5 رفتار مجانبی سیستم دینامیکی x’=Ax را نشان می دهد که ماتریس A در شکل سمت راست حداقل یک ویژه مقدار صفر دارد و در شکل سمت چپ ویژه مقادیرش کاملاً موهومی هستند (یعنی هردو ویژه مقدار بخش حقیقی صفر دارند). ذکر این نکته حائز اهمیت است، در مواردی که تنها چند ویژه مقدار بخش حقیقی صفر و بقیه بخش حقیقی غیر صفر داشته باشند، یک منحنی از نقاط ثابت در فضای فاز سیستم

پاسخی بگذارید